友谊数（介绍）

      友谊数也称亲和数、相亲数、互满数、互完数、友好数等，两个自然数，一个数(除了该数自身以外)的所有(整数)因数的和，等于另一个数，则称此两数为一对友谊数。220与284为友谊数。因为220的整数因数为1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、及110，其和是284；而284有整数因数1、2、4、71及142，其和是220。在106以下的数中，共有42对亲和数。至今，人们已发现了近千对亲和数。

      基本介绍

      问题导引：

      的真因数之和为：

      的真因数之和为：

      毕达拉哥斯把这样的数对称为相亲数，即友谊数：的真因数之和为，而的真因数之和为。最小的一对亲和数是和。

      介绍：

      友谊数（也称亲和数）是一类著名的正整数，它与完满数①有密切关系，如果正整数m的小于自身的因数之和等于n，而n的小于自身的因数之和又等于m，则称m，n为一对亲和数。即亲和数是和同时成立的两个数m，n。例如：

      所以220和284是亲和数，这对亲和数是毕达哥拉斯(Pythagoras)提出来的，第二对亲和数17296和18416是1636年费马(Fermat，P.de)提出来的，第三对亲和数9363584和9437056是1638年笛卡儿(Descartes，R.)发现的.1750年，欧拉(Euler，L.)比较系统地研究了亲和数后，提出了61对亲和数，有一对较小的亲和数1184与1210，在1866年才被发现。

      注：①在自然数中人们把恰好等于自身的全部真因子之和的数，定名为“完全数”，也叫“完满数”。如：6=1+2+3；28=1+2+4+7+14就是两个最小的完全数。

      相关介绍

      人们一般把亲和数的发现归功于古希腊的毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前572—前497年)学派。据说，当有人问毕达哥拉斯：“朋友是什么?”他回答： “这是第二个自我，正如220与284。”但也有学者认为印度人和希伯来人在更早的时候已经知道亲和数了。

      亲和数以其奇妙的性质， 在古代曾被蒙上相当神秘的色彩。例如认为分别写上220与284的护符会使其佩带者保持良好的友谊。希腊人用他们的字母表示数，因此每个人的名字也相应地可以表示一个数字。有一个未经证实的中世纪故事说： 有一位国王的名字在字数术上与284等价， 他因此要寻求一位名字代表220的女子做他的王后， 他相信这才是上天保证的美满姻缘。

      亲和数非常稀少。自从古代发现了第一对后，直到1636年才由法国数学家费尔马 (Fermat， 1601—1665)宣布17296和18416为另一对亲和数。18世纪，欧拉(Euler.1707—1783，瑞士) 曾系统地寻找亲和数，1747年给出一张30对的表，1750年扩展到60对以上。1866年，一个16岁的意大利男孩帕格尼尼(N.Paganini)发现了被人们忽视了的较小的一对1184和1210，成为亲和数研究史上的一件奇事。现在，已经知道的亲和数已有1000对以上。

      有许多办法寻求亲和数对。阿拉伯数学家泰比特·伊本·柯拉(Tabit ibn Qorra，826—901)指出，对于， 令， 只要全是素数，则就是一对亲和数。17世纪， 笛卡尔 (Descartes)重新得到这一公式。对n=2，它产生(220，284)，但它显然只能产生较特殊的一类亲和数。

      现代，亲和数对已被推广为亲和数链：链中每个数的因数之和等于下一个数， 而最后一数的因数之和等于第一个数， 如(12496， 14288， 15472，14536， 14264)。

      1965年， 人们发现了一个以14316开头的28环链。

      数论中与亲和数有关的许多问题， 既有趣， 又困难，例如，这种数是否有无限多对，就是一个至今尚未解决的著名难题。

      友谊数的起源

      $14!

文章来源：网络收集整理 & 本站编辑汇总